Fiche 02

Étude de Fonctions

Dérivées, variations, graphes, cercle trigonométrique

Dérivées usuelles

f(x)	f'(x)
$c (c \in R)$	$0$
$x^{n}$	$n \times x^{n - 1}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$

▶ Exemple

$f (x) = 3 x^{4} - \frac{2}{x} + ln x + 7$

f^{'} (x) = 12 x^{3} + \frac{2}{x ^{2}} + \frac{1}{x}

• $(3 x^{4})^{'} = 12 x^{3}$

• $(- 2/ x)^{'} = 2/ x^{2}$

• $(ln x)^{'} = 1/ x$

• $(7)^{'} = 0$

Formules de dérivation

Somme

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

Produit

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Quotient

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Composée

(f (u))^{'} = f^{'} (u) \times u^{'}

▶ Exemple

$f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x + 1}$ (formule du quotient)

f^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 1 ) - ( x ^{2} + 1 ) ( 1 )}{( x + 1 ) ^{2}}

Exemples de dérivation composée

(e^{u})^{'}

u^{'} \times e^{u}

(ln u)^{'}

\frac{u ^{'}}{u}

(u^{n})^{'}

n \times u^{'} \times u^{n - 1}

(sin u)^{'}

cos u \times u^{'}

(cos u)^{'}

- sin u \times u^{'}

▶ Exemple

$f (x) = sin (x^{2} + 1)$ (on pose $u = x^{2} + 1$ )

f^{'} (x) = cos (x^{2} + 1) \times 2 x

Hack fonctions composées

Hack pour dériver une composée

1.Identifier ce qu'on aurait aimé appeler $x$ → c'est $u$
2.Dériver comme si c'était $x$
3.Garder l'expression complète (ne pas simplifier $u$ )
4.Multiplier par $u^{'}$

Graphes des fonctions usuelles

Ces graphes doivent être connus pour raisonner sur les limites et les variations dans les QCM.

x²

1/x

ln(x)

eˣ

sin(x)

cos(x)

Asymptotes

Asymptote verticale

Si $f (x) \to \pm \infty$ quand $x \to a$

$x = a$ est une asymptote verticale

Asymptote horizontale

Si $f (x) \to l$ quand $x \to \pm \infty$

$y = l$ est une asymptote horizontale

Piège !

Erreur classique : compter deux asymptotes alors que c'est la même. Par exemple, $1/ x \to 0$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ , mais c'est une seule asymptote $y = 0$ .

▶ Exemple

$f (x) = 1/ x$

• $x \to 0 : f (x) \to \pm \infty$ → asymptote verticale $x = 0$

• $x \to \pm \infty : f (x) \to 0$ → asymptote horizontale $y = 0$

Croissance comparée

Classement complet

ln x

≪

x^{a}

≪

e^{x}

≪

x!

≪

x^{x}

Il faut retenir que l'exponentielle est plus forte qu'un polynôme.

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

x \to + \infty lim \frac{x ^{k}}{e ^{x}} = 0

▶ Exemple

Étudier $\frac{ln x}{x}$ quand $x \to + \infty$

ln x ≪ x ⟹ x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0

Simplifier une limite (terme dominant)

Équivalent trigo en 0

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

Équivalent polynôme quand $x \to \infty$

On garde le terme de plus haut degré.

lim (3 x^{3} + 2 x^{2} + 1) = lim (3 x^{3}) = + \infty

▶ Exemple

$\frac{- 5 x ^{2} + 4}{8 x ^{3}}$ quand $x \to + \infty$

\frac{- 5 x ^{2}}{8 x ^{3}} = - \frac{5}{8 x} \to 0

Cercle trigonométrique

Clique sur un point du cercle

Clique sur un des 16 points pour afficher cos et sin

Valeurs remarquables

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2
cos x	1	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
sin x	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	1

Formules trigonométriques

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

Relations graphiques dérivée / primitive

f^{'} (x) > 0

f est croissante

f^{'} (x) < 0

f est décroissante

Idées clés

• Dérivée positive → pente positive (monte)

• Dérivée nulle → extremum (sommet ou creux)

• Question graphique fréquente : « le graphe de h peut-il être la dérivée de f ? »

▶ Exemple

$f (x) = x^{2}$ , $f^{'} (x) = 2 x$

• $x < 0$ : $f^{'} (x) < 0$ → f décroissante

• $x > 0$ : $f^{'} (x) > 0$ → f croissante

• Minimum en $x = 0$

Dérivée seconde · Convexité / Concavité

Définition

f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'}

C'est la dérivée de la dérivée.

f^{''} (x) > 0

Convexe = sourire

Au-dessus de ses tangentes

f^{''} (x) < 0

Concave = triste

En dessous de ses tangentes

Point d'inflexion

Si $f^{''} (x) = 0$ et que le signe de $f^{''}$ change, alors on a un point d'inflexion.

La courbe passe de concave à convexe (ou inversement).

Lien avec les QCM

On demande souvent si un graphe peut être la dérivée première ou seconde d'une fonction. Savoir reconnaître : pente positive/négative, pente qui augmente, pente qui diminue.

▶ Exemple

$f (x) = x^{3}$

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , $f^{''} (x) = 6 x$

• $x < 0$ : $f^{''} (x) < 0$ → concave

• $x > 0$ : $f^{''} (x) > 0$ → convexe

• $x = 0$ : point d'inflexion

Formes indéterminées et lever une indétermination

Formes indéterminées classiques

Certaines expressions ne permettent pas de conclure directement :

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

0 \times \infty

1^{\infty}

0^{0}

\infty^{0}

Méthodes pour lever une indétermination

1. Utiliser un équivalent

$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ donc $lim_{x \to 0} \frac{sin ( 3 x )}{x} = 3$

2. Garder les termes dominants

Quand $x \to + \infty$ : $lim (- 5 x^{2} + 4) = lim (- 5 x^{2})$ donc $lim \frac{- 5 x ^{2}}{8 x ^{3}} = lim (- \frac{5}{8 x}) = 0$

3. Utiliser les croissances comparées

$n^{3} ≪ e^{n}$ donc $lim_{n \to + \infty} \frac{n ^{3}}{e ^{n}} = 0$

4. Factoriser

$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1$

Rappels de calcul

Puissances

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

(a^{m})^{n} = a^{m \times n}

a^{0} = 1 (a \neq = 0)

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

(ab)^{n} = a^{n} \times b^{n}

Racines

ab = a \times b

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

a^{2} = ∣ a ∣

(a)^{2} = a

Exponentielle

e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}

e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}

e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}

(e^{a})^{n} = e^{na}

ln (e^{x}) = x

e^{l n x} = x (x > 0)

Logarithme népérien

ln (ab) = ln a + ln b

ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b

ln (a^{n}) = n ln a

ln (1) = 0

ln (e) = 1

ln (a) = \frac{1}{2} ln a

Identités remarquables

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Réflexes Concours

1. Voir une question sur les asymptotes

Réflexe : regarder les limites aux points où f n'est pas définie. Si $lim = \pm \infty$ → asymptote verticale.

2. Voir une limite quand $x \to \infty$ avec des puissances

Réflexe : la puissance la plus grande domine. Tous les autres termes deviennent négligeables.

3. Voir sin(x), $x \to 0$

Réflexe : $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ . Permet souvent de lever un $0/0$ .

4. Voir une information sur $f^{'} (x)$

Réflexe : variations de f. $f^{'} (x) > 0$ → croissante, $f^{'} (x) < 0$ → décroissante.

5. Voir une limite mélangeant $ln x$ , $x^{a}$ , $e^{x}$

Réflexe : croissances comparées pour savoir quel terme domine.

Fiche 02 Étude de FonctionsConcours Ingénieur Post-Bac