Théorème des valeurs intermédiaires terminale : TVI ou corollaire ?

Le théorème des valeurs intermédiaires (souvent abrégé en TVI) est l'un des outils les plus utilisés en terminale pour démontrer qu'une équation admet une solution. Il tombe au Bac quasiment chaque année, sous une forme classique : « Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[a;b]$ ». La question paraît simple, mais beaucoup d'élèves perdent des points en citant le TVI au lieu de son corollaire, ou en oubliant la condition de continuité.

Dans cet article, je te montre la différence entre le TVI et son corollaire (c'est cette distinction qui rapporte les points), deux exemples rédigés (un cas existence, un cas existence + unicité), les pièges classiques et la structure de rédaction exacte à recopier au Bac.

TVI ou corollaire du TVI : quelle différence ?

C'est LA distinction que tu dois maîtriser. Beaucoup d'élèves citent juste « TVI » alors qu'ils utilisent en réalité le corollaire. Ça paraît un détail, mais le correcteur déduit des points sur la rigueur. Voici les deux énoncés :

Règle simple à retenir : dès qu'on te demande d'unicité d'une solution (« montrer que l'équation admet une unique solution »), tu cites le corollaire. Si on te demande juste l'existence (« montrer que l'équation admet au moins une solution »), tu cites le TVI tout court.

Quand utiliser le TVI au Bac ?

Le TVI ou son corollaire est l'outil approprié dès que tu vois ce type de signal dans l'énoncé :

• « Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution sur $[a;b]$ » → TVI (existence)
• « Montrer que l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution » → corollaire du TVI (existence + unicité)
• « Justifier qu'il existe un réel $c$ tel que $f(c)=\dots$ » → TVI
• « En déduire l'existence d'une valeur $\alpha$ telle que $f(\alpha )=\dots$ » → TVI ou corollaire selon le contexte

Exemple type 1 : montrer qu'une équation admet une unique solution

Énoncé. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+2x-5$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.

Le mot « unique » indique qu'on doit utiliser le corollaire du TVI. La méthode standard : continuité + stricte monotonie + changement de signe.

Exemple type 2 : montrer qu'une équation admet une solution (sans unicité)

Énoncé. Soit $g$ la fonction définie sur $[0;2\pi ]$ par $g(x)=\cos (x)-x+1$. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution sur $[0;2\pi ]$.

Pas de « unique » dans l'énoncé : on cite donc le TVI tout court. Pas besoin d'étudier la monotonie.

Les pièges classiques du TVI

1. Citer le TVI au lieu du corollaire pour l'unicité

Le piège n°1, et le plus coûteux. Si tu écris « par le TVI, l'équation admet une unique solution », tu perds des points sur la rigueur car le TVI seul ne donne pas l'unicité. Tu dois écrire « par le corollaire du TVI » dès qu'il y a unicité.

2. Oublier de mentionner la continuité

La continuité est l'hypothèse fondamentale du TVI. Sans elle, le théorème ne s'applique pas. Tu dois TOUJOURS écrire explicitement « $f$ est continue sur $[a;b]$ car… » en justifiant pourquoi (polynôme, fonction usuelle, somme/produit/quotient de fonctions continues, etc.). Ne suppose jamais que le correcteur le devinera.

3. Oublier le changement de signe (ou la valeur de $k$ entre les bornes)

Il faut montrer que la valeur cible $k$ (souvent $0$) est bien comprise entre $f(a)$ et $f(b)$. Concrètement : tu calcules $f(a)$ et $f(b)$, et tu vérifies qu'ils sont de signes opposés (si $k=0$). Si tu sautes ce calcul, le correcteur ne peut pas vérifier l'hypothèse. Phrase rituelle : « $f(a)=\dots <0$ et $f(b)=\dots >0$, donc $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. »

4. Confondre stricte monotonie et monotonie simple

Pour le corollaire, il faut une stricte monotonie ($f^{\prime }>0$ ou $f^{\prime }<0$, pas $⩾$ ou $⩽$). Si $f$ est seulement croissante (avec des paliers où $f^{\prime }=0$), on n'a pas l'unicité. Bien écrire « strictement croissante » ou « strictement décroissante » dans ta rédaction. Justifier par $f^{\prime }(x)>0$ (strictement positif) ou par $f^{\prime }$ qui ne s'annule qu'en des points isolés.

5. Conclure sans citer explicitement le théorème

La phrase finale doit nommer explicitement « théorème des valeurs intermédiaires » ou « corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ». Ne te contente pas de « donc l'équation a une solution » : le correcteur veut voir le nom du théorème. C'est ce qui rapporte les points de rigueur.

La rédaction type au Bac : la structure à recopier

Voici les deux squelettes à connaître, selon que tu cherches l'existence seule ou existence et unicité.

TVI : les questions qu'on me pose souvent

Comment savoir si je dois citer le TVI ou son corollaire ?

Regarde le mot-clé dans l'énoncé. « Unique solution » ou « une seule solution » → corollaire. « Une solution » ou « au moins une solution » → TVI. Si tu hésites, lis l'énoncé deux fois et entoure le mot qui décide.

Et si la fonction n'est pas monotone sur tout l'intervalle ?

Tu peux subdiviser l'intervalle en sous-intervalles sur lesquels $f$ est strictement monotone, et appliquer le corollaire sur chacun. Tu obtiens alors une solution unique sur chaque sous-intervalle, et tu sommes les résultats. Au Bac, on te guide souvent vers cette méthode quand c'est nécessaire (« étudier $f$ sur $[0;3]$ puis sur $[3;5]$ »).

Faut-il toujours calculer les valeurs aux bornes ?

Oui. Le correcteur veut voir le calcul de $f(a)$ et $f(b)$ (ou les limites si l'intervalle est ouvert). Sans ce calcul, on ne peut pas vérifier l'hypothèse « $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ». Si l'intervalle est infini, tu utilises les limites en $\pm \infty$ et tu cites le théorème des valeurs intermédiaires « généralisé » qui s'applique aux limites.

Comment déterminer un encadrement de la solution ?

Une fois l'existence prouvée, tu encadres $\alpha$ par dichotomie ou par balayage à la calculatrice. Tu cherches deux valeurs successives $f(x_1)$ et $f(x_2)$ qui changent de signe, et tu affines en réduisant l'écart. Pour un encadrement à $10^{-2}$ près, tu utilises la table de la calculatrice avec un pas de $0,01$.

En résumé : le TVI en 4 réflexes

1. Repérer le signal : « équation admet une solution » → TVI, « équation admet une unique solution » → corollaire.
2. Justifier la continuité (toujours).
3. Pour le corollaire, ajouter la stricte monotonie via $f^{\prime }$.
4. Conclure en citant explicitement le théorème ou son corollaire.