Méthode9 min de lecture· 28 juin 2026

Dénombrement terminale : combinaison ou arrangement ? La méthode pour ne plus jamais hésiter

Q: Comment éviter de se tromper entre $n!$, $A_n^p$ et $\binom{n}{p}$ ?

$n!$ = permutations de $n$ éléments (cas particulier : $A_n^n = n!$). $A_n^p$ = arrangements (sans répétition, ordre compte). $\binom{n}{p}$ = combinaisons (sans répétition, ordre ne compte pas). Astuce mnémo : $A$ comme Arrangement et Autre (l'ordre est différent à chaque fois). $\binom{n}{p}$ comme Choix (peu importe l'ordre dans lequel tu choisis).

Combinaison ou arrangement ? Avec ou sans remise ? L'ordre compte-t-il ? Trois questions à se poser à chaque exo, un tableau de décision et 4 exemples rédigés. Tu ne te tromperas plus.

Judith Quéré

Ingénieure diplômée, fondatrice de Mathactique

Le dénombrement, c'est cette partie du programme où l'élève sait calculer mais ne sait pas quoi calculer. Tu connais les formules : $A_{n}^{p}$ , $(p n)$ , $n^{p}$ . Mais devant un exercice concret (tirer 3 cartes, choisir 4 personnes, former un code à 5 chiffres), tu doutes : c'est une combinaison ou un arrangement ? Y a-t-il répétition ? L'ordre compte-t-il ?

Dans cet article, je te donne la méthode complète : les trois questions à te poser à chaque exercice, le tableau de décision qui va te servir au Bac, 4 exemples rédigés sur des situations classiques, et les pièges à éviter. À la fin, tu sauras immédiatement quelle formule appliquer.

Les 3 questions à te poser à chaque exercice

Avant de chercher quelle formule appliquer, tu te poses dans cet ordre les trois questions suivantes. Chaque réponse élimine des options et te mène directement à la bonne formule.

Question 1 : Peut-on répéter le même élément ?

Autrement dit, est-ce qu'on peut tirer deux fois le même élément ? Indices : « tirage avec remise », « code de 4 chiffres pouvant être identiques », « on lance le dé 5 fois » → répétition possible. À l'inverse : « tirage sans remise », « on choisit 3 personnes distinctes », « les chiffres du code sont tous différents » → pas de répétition.

Question 2 : L'ordre des éléments tirés compte-t-il ?

Est-ce que tirer A puis B est différent de tirer B puis A ? Indices : « code », « podium », « tirage successif » → ordre compte. À l'inverse : « équipe », « comité », « ensemble », « tirage simultané » → ordre ne compte pas.

Question 3 : Combien d'éléments choisit-on parmi combien ?

Tu identifies $n$ (taille de l'ensemble de départ) et $p$ (nombre d'éléments à choisir). Vérifie que $p ⩽ n$ quand il n'y a pas de répétition, sinon ton calcul n'a pas de sens.

Le tableau de décision : 3 cas possibles

En croisant les réponses aux questions 1 et 2, tu obtiens un tableau de décision avec 3 cas seulement. Apprends-le par cœur.

MéthodeCas 1 : avec répétition, ordre compte → $n^p$

Tirage avec remise où l'ordre compte. Tu choisis

p

éléments parmi

n

, chaque tirage est indépendant. Nombre de possibilités :

n \times n \times \dots \times n = n^{p}

. Exemple type : code PIN de 4 chiffres (chaque chiffre est un choix entre 10, indépendant des autres) →

1 0^{4} = 10000

codes possibles.

MéthodeCas 2 : sans répétition, ordre compte → arrangement $A_n^p$

Tirage sans remise où l'ordre compte. Tu choisis

p

éléments distincts parmi

n

. Nombre de possibilités :

A_{n}^{p} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - p + 1) = \frac{n !}{( n - p )!}

. Exemple type : podium d'une course avec 10 coureurs (3 places, ordre compte, pas de répétition) →

A_{10}^{3} = 10 \times 9 \times 8 = 720

MéthodeCas 3 : sans répétition, ordre ne compte pas → combinaison $\binom{n}{p}$

Tirage sans remise où l'ordre ne compte pas. Tu choisis

p

éléments distincts parmi

n

, sans tenir compte de l'ordre. Nombre de possibilités :

(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!} = \frac{A _{n}^{p}}{p !}

. Exemple type : choisir 5 cartes dans un jeu de 32 (on s'en fiche de l'ordre des cartes dans la main) →

(5 32) = 201376

PiègeLe 4e cas (avec répétition, ordre ne compte pas) n'est PAS au programme

Si tu fais des recherches, tu trouveras une 4e formule pour « avec répétition, ordre ne compte pas » (combinaisons avec répétition). Ce cas n'est pas au programme de terminale. Si tu te retrouves face à un exercice qui semble correspondre à ce cas, c'est que tu as mal interprété l'énoncé.

Le lien entre arrangement et combinaison (à connaître par cœur)

Un arrangement, c'est une combinaison dont on a ordonné les éléments. Mathématiquement :

A_{n}^{p} = (p n) \times p!

Tu choisis d'abord $p$ éléments sans tenir compte de l'ordre ( $(p n)$ choix), puis tu les ordonnes ( $p!$ permutations). Cette formule est utile dans les exercices où on te demande de passer de l'un à l'autre, ou pour vérifier ton calcul.

Exemple type 1 : tirage avec remise (avec répétition)

Énoncé. Un digicode est composé de 4 chiffres choisis entre 0 et 9. Chaque chiffre peut être identique aux autres. Combien y a-t-il de codes possibles ?

Rédaction type Bac

1
Question 1 (répétition). Les chiffres peuvent être identiques, donc il y a répétition.
2
Question 2 (ordre). Un code est ordonné : 1234 et 4321 sont des codes différents. Donc l'ordre compte.
3
Formule. On est dans le cas « avec répétition, ordre compte ». Le nombre de codes est $1 0^{4}$ .
4
Calcul. $1 0^{4} = 10000$ . Il y a donc $10000$ codes possibles.

Exemple type 2 : tirage sans remise, ordre compte (arrangement)

Énoncé. Dans une classe de 30 élèves, on doit élire un délégué et un suppléant. Une même personne ne peut pas occuper les deux postes. Combien y a-t-il de couples (délégué, suppléant) possibles ?

Rédaction type Bac

1
Question 1 (répétition). Une même personne ne peut occuper les deux postes : pas de répétition.
2
Question 2 (ordre). Délégué et suppléant sont des postes différents : (Léa, Tom) est différent de (Tom, Léa). L'ordre compte.
3
Formule. On est dans le cas « sans répétition, ordre compte » : c'est un arrangement $A_{30}^{2}$ .
4
Calcul. $A_{30}^{2} = 30 \times 29 = 870$ . Il y a $870$ couples possibles.

Exemple type 3 : tirage sans remise, ordre ne compte pas (combinaison)

Énoncé. Dans une classe de 30 élèves, on doit former un comité de 3 personnes (sans distinguer les rôles). Combien y a-t-il de comités possibles ?

Rédaction type Bac

1
Question 1 (répétition). Une même personne ne peut pas être choisie deux fois : pas de répétition.
2
Question 2 (ordre). Les trois personnes du comité jouent toutes le même rôle. Le comité {Léa, Tom, Inès} est le même que {Tom, Inès, Léa}. L'ordre ne compte pas.
3
Formule. On est dans le cas « sans répétition, ordre ne compte pas » : c'est une combinaison $(3 30)$ .
4
Calcul. $(3 30) = \frac{30 !}{3 ! \times 27 !} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = \frac{24 360}{6} = 4060$ . Il y a $4060$ comités possibles.

AstuceComparaison délégué/suppléant vs comité

Les exemples 2 et 3 partent du même point (30 élèves, choix de quelques-uns) mais donnent des résultats très différents (870 vs 4 060). La différence : dans le comité, on ne distingue pas les rôles, donc on divise par

p! = 3! = 6

par rapport à l'arrangement correspondant. C'est exactement la relation

(p n) = A_{n}^{p} / p!

Exemple type 4 : le sujet Bac 2026 (escape game)

Énoncé (issu du Bac Métropole juin 2026). Deux portes de sortie, chacune protégée par un digicode à 8 touches. La porte A utilise un code de 3 symboles différents saisis dans l'ordre. La porte B utilise un code de 4 symboles différents dans n'importe quel ordre. Combien y a-t-il de codes possibles pour chaque porte ?

Porte A

1
Question 1. Symboles différents : pas de répétition.
2
Question 2. Saisis dans l'ordre : ordre compte.
3
Formule. Arrangement $A_{8}^{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ codes possibles.

Porte B

1
Question 1. Symboles différents : pas de répétition.
2
Question 2. N'importe quel ordre : ordre ne compte pas.
3
Formule. Combinaison $(4 8) = \frac{8 !}{4 ! \times 4 !} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1 680}{24} = 70$ codes possibles.

La porte B est nettement plus facile à ouvrir au hasard ( $1/70$ ) que la porte A ( $1/336$ ), même si elle utilise plus de symboles, parce que l'ordre n'y compte pas et qu'il y a donc moins de combinaisons.

Les pièges classiques du dénombrement

1. Confondre « tirage successif » et « tirage simultané »

« Successif » signifie qu'on tire un par un, en notant l'ordre. C'est un arrangement (ou une p-liste si on remet à chaque fois). « Simultané » signifie qu'on prend tout d'un coup, sans noter l'ordre. C'est une combinaison. Si l'énoncé est ambigu, c'est presque toujours simultané/combinaison.

2. Oublier de regarder s'il y a remise

« Tirage avec remise » → répétition possible → p-liste $n^{p}$ . « Tirage sans remise » → pas de répétition → arrangement ou combinaison. C'est la première chose à vérifier dans l'énoncé.

3. Appliquer une combinaison alors que l'ordre compte

Un podium, un classement, un code, des rôles distincts (délégué/suppléant, président/trésorier)... tout ça implique un ordre. Si tu vois ces indices, c'est un arrangement, pas une combinaison. Réflexe : si tu peux donner des « noms » différents aux places (1ère, 2ème, etc.), l'ordre compte.

4. Mal identifier $n$ et $p$

$n$ est la taille de l'ensemble de départ (tout ce parmi quoi on choisit). $p$ est le nombre d'éléments qu'on prélève au final. Erreur classique : inverser les deux. Pose-toi la question : « combien d'objets dans le réservoir ? » → $n$ . « Combien j'en prends ? » → $p$ .

5. Oublier le cas particulier $(0 n) = 1$ et $(n n) = 1$

Au calcul, attention : $(0 n) = 1$ (il y a une seule façon de choisir aucun élément : ne rien choisir). $(n n) = 1$ (une seule façon de tout choisir). Ces deux cas particuliers sont à savoir, ils interviennent dans les sommes de coefficients binomiaux et dans la loi binomiale.

La rédaction type au Bac : structure à recopier

Pour un exercice de dénombrement au Bac, ta rédaction doit toujours expliquer le choix de la formule. Le correcteur veut voir ton raisonnement, pas juste le résultat.

Squelette de rédaction

1
Identification du type. « Il s'agit d'un tirage ... [avec/sans remise], où l'ordre [compte/ne compte pas]. »
2
Formule. « On utilise donc ... [p-liste / arrangement / combinaison]. Le nombre cherché est ... »
3
Calcul. « ... = ... = ... »
4
Conclusion. « Il y a donc ... possibilités. »

MéthodeMention explicite des arguments

Si tu utilises un arrangement, écris « comme l'ordre compte et qu'il n'y a pas de répétition, on utilise un arrangement ». Si tu utilises une combinaison, écris « comme l'ordre ne compte pas, on utilise une combinaison ». Cette phrase de justification rapporte 0,25 à 0,5 point à chaque question.

Dénombrement : les questions qu'on me pose souvent

Comment savoir si l'ordre compte dans un exercice ?

Pose-toi la question : « si j'échange deux éléments du tirage, est-ce que je considère que c'est le même tirage ou un tirage différent ? ». Si c'est différent, l'ordre compte (arrangement ou p-liste). Si c'est pareil, l'ordre ne compte pas (combinaison). Mots-clés ordre compte : « code », « podium », « successif », « rôles distincts ». Mots-clés ordre ne compte pas : « équipe », « comité », « simultané », « ensemble », « groupe ».

À quoi servent les formules $(p n) = (n - p n)$ ?

Cette symétrie vient du fait que choisir $p$ éléments parmi $n$ revient à laisser de côté $n - p$ éléments. Concrètement, ça simplifie les calculs : par exemple $(98 100) = (2 100) = 4950$ (beaucoup plus rapide à calculer que $(98 100)$ directement).

Comment éviter de se tromper entre $n!$ , $A_{n}^{p}$ et $(p n)$ ?

$n!$ = permutations de $n$ éléments (cas particulier : $A_{n}^{n} = n!$ ). $A_{n}^{p}$ = arrangements (sans répétition, ordre compte). $(p n)$ = combinaisons (sans répétition, ordre ne compte pas). Astuce mnémo : $A$ comme Arrangement et Autre (l'ordre est différent à chaque fois). $(p n)$ comme Choix (peu importe l'ordre dans lequel tu choisis).

Pourquoi a-t-on $(p n) = A_{n}^{p} / p!$ ?

Parce que chaque combinaison de $p$ éléments peut être ordonnée de $p!$ façons différentes pour donner un arrangement. Donc le nombre d'arrangements est $p!$ fois le nombre de combinaisons. Cette formule te permet de passer de l'un à l'autre, et c'est souvent demandé au Bac (« en déduire le nombre de … »).

En résumé : le dénombrement en 3 questions

Y a-t-il répétition ? (Tirage avec remise ou non ?)
L'ordre compte-t-il ? (Tirage successif ou simultané, code ou ensemble ?)
Combien d'éléments parmi combien ? ( $p$ et $n$ .)

Une fois ces 3 questions répondues, la formule à appliquer est immédiate : $n^{p}$ (avec répétition + ordre compte), $A_{n}^{p}$ (sans répétition + ordre compte), $(p n)$ (sans répétition + ordre ne compte pas). Avec cette méthode, n'importe quel exercice de dénombrement du Bac devient un exercice mécanique.

Pour aller plus loin

Tu veux t'entraîner sur des exercices de dénombrement et de loi binomiale corrigés pas à pas ? La fiche Probabilités et les exercices du module Bac te donnent tout ce qu'il faut.

Voir la fiche Probabilités

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Les 3 questions à te poser à chaque exercice

Question 1 : Peut-on répéter le même élément ?

Question 2 : L'ordre des éléments tirés compte-t-il ?

Question 3 : Combien d'éléments choisit-on parmi combien ?

Le tableau de décision : 3 cas possibles

Le lien entre arrangement et combinaison (à connaître par cœur)

Exemple type 1 : tirage avec remise (avec répétition)

Exemple type 2 : tirage sans remise, ordre compte (arrangement)

Exemple type 3 : tirage sans remise, ordre ne compte pas (combinaison)

Exemple type 4 : le sujet Bac 2026 (escape game)

Les pièges classiques du dénombrement

1. Confondre « tirage successif » et « tirage simultané »

2. Oublier de regarder s'il y a remise

3. Appliquer une combinaison alors que l'ordre compte

4. Mal identifier n et p

5. Oublier le cas particulier (0n​)=1 et (nn​)=1

La rédaction type au Bac : structure à recopier

Dénombrement : les questions qu'on me pose souvent

Comment savoir si l'ordre compte dans un exercice ?

À quoi servent les formules (pn​)=(n−pn​) ?

Comment éviter de se tromper entre n!, Anp​ et (pn​) ?

Pourquoi a-t-on (pn​)=Anp​/p! ?

En résumé : le dénombrement en 3 questions

4. Mal identifier $n$ et $p$

5. Oublier le cas particulier $(0 n) = 1$ et $(n n) = 1$

À quoi servent les formules $(p n) = (n - p n)$ ?

Comment éviter de se tromper entre $n!$ , $A_{n}^{p}$ et $(p n)$ ?

Pourquoi a-t-on $(p n) = A_{n}^{p} / p!$ ?