Méthode10 min de lecture· 26 juin 2026

Démonstration par récurrence terminale : la méthode pas à pas

Q: Quand faut-il faire une récurrence plutôt qu'un raisonnement direct ?

Si la propriété à démontrer est valable pour tout entier $n$ et que la suite est définie par une relation de récurrence (donc $u_{n+1}$ s'écrit en fonction de $u_n$), la récurrence est presque toujours la bonne piste. Si la suite a une formule explicite (du type $u_n = 2n + 3$), tu peux souvent démontrer directement sans passer par la récurrence : tu fais le calcul algébrique et c'est plié.

Q: Faut-il toujours initialiser à $n = 0$ ?

Non. Tu initialises au premier rang où la propriété doit être vraie, qu'on appelle $n_0$. Si l'énoncé dit « pour tout $n \geqslant 3$ », tu initialises en $n = 3$. Si la suite n'est définie qu'à partir de $n = 1$, tu initialises en $n = 1$. Tu lis l'énoncé attentivement avant de te lancer.

Récurrence à faire et tu hésites sur où placer le « pour tout n » et le « soit n », sur comment utiliser ton hypothèse de récurrence, sur la phrase de conclusion ? La méthode complète, avec 2 exemples rédigés et les pièges classiques.

Judith Quéré

Ingénieure diplômée, fondatrice de Mathactique

La récurrence est sans doute l'une des techniques de démonstration les plus puissantes du programme de spé maths en terminale. Elle tombe quasiment chaque année au Bac, parfois sous forme directe (« démontrer par récurrence que… »), parfois cachée dans une question sur les suites. Le problème : la plupart des élèves connaissent la structure générale (initialisation, hérédité, conclusion), mais hésitent sur les détails de rédaction. Où placer le « pour tout n » exactement ? Quand écrire « soit n » ? Quelle phrase rituelle pour la conclusion ? Et surtout, comment utiliser l'hypothèse de récurrence au bon moment ?

Dans cet article, je te donne la méthode complète, la structure exacte à recopier au Bac, deux exemples entièrement rédigés (une égalité et une inégalité, les deux formats les plus tombés) et les pièges classiques qui font perdre des points à coup sûr. À la fin, tu sauras quand utiliser la récurrence, comment la poser et comment la rédiger pour que le correcteur n'ait rien à redire.

Quand utiliser une démonstration par récurrence ?

La récurrence sert à démontrer qu'une propriété $P (n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ (ou pour tout $n ⩾ n_{0}$ ). Elle est l'outil approprié dès que tu vois ce type de signal dans l'énoncé :

« Montrer que pour tout $n \in N$ , on a $u_{n} = \dots$ »
« Démontrer par récurrence que… » (l'énoncé te dit explicitement la méthode)
« Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante » alors que tu n'as pas de formule explicite mais une relation de récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$
« Montrer que pour tout $n$ , $u_{n} ⩾ a$ » (encadrement d'une suite définie par récurrence)

Le point commun : on te demande de démontrer une propriété qui dépend d'un entier $n$ et qui doit être vraie pour une infinité de valeurs. Tu ne peux pas vérifier à la main pour chaque $n$ , il te faut donc une démonstration qui couvre tous les cas en un seul raisonnement. C'est exactement ce que fait la récurrence.

AstuceSignal le plus fiable

Si tu as une suite définie par une relation de récurrence (

u_{n + 1}

en fonction de

u_{n}

) et qu'on te demande une propriété valable pour tout

n

, alors c'est presque toujours une récurrence. Pose-toi la question : si je connais la propriété au rang

n

, est-ce que je peux la déduire au rang

n + 1

? Si oui, fonce.

Le principe de la récurrence en 3 étapes

Une démonstration par récurrence comporte toujours trois étapes, dans cet ordre, sans en oublier aucune. C'est la structure que le correcteur s'attend à voir.

1. Initialisation : on vérifie que $P (n_{0})$ est vraie

Tu vérifies que la propriété est vraie au premier rang (le plus souvent $n_{0} = 0$ ou $n_{0} = 1$ ). C'est en général un calcul direct, parfois trivial. Surtout, ne saute jamais cette étape : sans initialisation, toute la récurrence s'écroule.

2. Hérédité : on suppose $P (n)$ et on démontre $P (n + 1)$

C'est le cœur de la démonstration. Tu fais l'hypothèse de récurrence au rang $n$ , puis tu démontres que cette hypothèse entraîne la propriété au rang $n + 1$ . Toute la difficulté est ici : il faut utiliser concrètement l'hypothèse au moment du passage de $n$ à $n + 1$ (et pas la mettre dans un coin pour ne jamais s'en servir).

3. Conclusion : par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n$

Tu conclus en disant que par récurrence, la propriété $P (n)$ est vraie pour tout $n ⩾ n_{0}$ . C'est la phrase rituelle qu'il faut absolument écrire, sans quoi le correcteur considère que tu n'as pas conclu (et que tu rates des points sur une question facile).

MéthodeL'analogie des dominos

Imagine une infinité de dominos alignés. Initialisation = je pousse le premier domino. Hérédité = je m'assure que chaque domino, en tombant, fait tomber le suivant. Conclusion = donc tous les dominos finissent par tomber. Si tu oublies de pousser le premier (pas d'initialisation), rien ne tombe. Si les dominos sont trop écartés (l'hérédité ne tient pas), le mouvement s'arrête en route.

AstucePour rédiger l'hérédité : pars de la fin

Quand tu rédiges l'hérédité, tu connais exactement ton point d'arrivée : c'est la propriété au rang

n + 1

. Sers-toi en. Écris d'abord ce que tu veux obtenir en bas de page, laisse quelques lignes blanches au-dessus, et remplis le chemin entre ton point de départ (l'hypothèse de récurrence) et ton point d'arrivée. C'est la même idée que quand on te dit « montrer que la dérivée vaut … » : tu écris le résultat, et tu remontes les calculs pour y arriver. Tu finis bien plus vite, et tu ne te perds pas en route.

Exemple type 1 : démonstration par récurrence d'une égalité

Énoncé. Démontrer que pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , on a :

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

C'est la somme des $n$ premiers entiers, un classique absolu. Voyons la rédaction complète.

Rédaction type Bac

1
Propriété. Soit $P (n)$ la propriété : « $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ». On démontre par récurrence que $P (n)$ est vraie pour tout $n ⩾ 1$ .
2
Initialisation. Au rang $n = 1$ : à gauche, on a $1$ . À droite, $\frac{1 \times 2}{2} = 1$ . Donc $P (1)$ est vraie.
3
Hérédité. Soit $n ⩾ 1$ . On suppose $P (n)$ , c'est-à-dire $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Montrons $P (n + 1)$ , c'est-à-dire $1 + 2 + \dots + n + (n + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ .
On part de $1 + 2 + \dots + n + (n + 1)$ et on remplace les premiers termes par leur somme grâce à l'hypothèse de récurrence : $1 + 2 + \dots + n + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1)$ .
On met au même dénominateur : $\frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) + 2 ( n + 1 )}{2}$ .
On factorise par $(n + 1)$ : $\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ . On retrouve bien l'expression de $P (n + 1)$ , donc $P (n + 1)$ est vraie.
4
Conclusion. Par récurrence, pour tout $n ⩾ 1$ , $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

AstuceCe qu'il faut retenir de cet exemple

Le moment clé de l'hérédité, c'est quand tu utilises l'hypothèse de récurrence (ici à la sous-étape où on remplace

1 + 2 + \dots + n

par sa valeur). Si tu ne l'utilises jamais, ta démonstration n'est pas une récurrence, c'est autre chose. Souligne mentalement ce moment quand tu rédiges.

Exemple type 2 : démonstration par récurrence d'une inégalité

Les inégalités par récurrence font peur à beaucoup d'élèves car on ne peut pas faire d'algèbre pure : il faut encadrer ou majorer/minorer habilement. Pourtant la structure est exactement la même.

Énoncé. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , on a $2^{n} ⩾ n + 1$ .

Rédaction type Bac

1
Propriété. Soit $P (n)$ la propriété : « $2^{n} ⩾ n + 1$ ». On démontre par récurrence que $P (n)$ est vraie pour tout $n \in N$ .
2
Initialisation. Au rang $n = 0$ : $2^{0} = 1$ et $0 + 1 = 1$ . On a bien $1 ⩾ 1$ . Donc $P (0)$ est vraie.
3
Hérédité. Soit $n \in N$ . On suppose $P (n)$ , c'est-à-dire $2^{n} ⩾ n + 1$ . Montrons $P (n + 1)$ , c'est-à-dire $2^{n + 1} ⩾ n + 2$ .
On écrit $2^{n + 1} = 2 \times 2^{n}$ .
Par hypothèse de récurrence, $2^{n} ⩾ n + 1$ . Donc $2 \times 2^{n} ⩾ 2 (n + 1) = 2 n + 2$ .
Or $2 n + 2 ⩾ n + 2$ équivaut à $n ⩾ 0$ , ce qui est toujours vrai. Donc $2^{n + 1} ⩾ 2 n + 2 ⩾ n + 2$ , et $P (n + 1)$ est vraie.
4
Conclusion. Par récurrence, pour tout $n \in N$ , $2^{n} ⩾ n + 1$ .

AstuceLa technique du double encadrement

Pour les inégalités, tu pars de l'expression du rang

n + 1

(ici

2^{n + 1}

), tu la transformes pour faire apparaître l'expression du rang $n$ (ici

2^{n}

), tu appliques l'hypothèse de récurrence pour obtenir une inégalité intermédiaire, puis tu complètes par une inégalité simple pour atteindre le membre de droite de

P (n + 1)

. C'est la chaîne

2^{n + 1} ⩾ 2 (n + 1) ⩾ n + 2

Les pièges classiques de la récurrence

1. Oublier l'initialisation

Le piège n°1, celui qui coûte directement 0,5 à 1 point au Bac. Pas d'initialisation, pas de récurrence valide, même si ton hérédité est impeccable. Pense à l'analogie des dominos : si tu ne pousses pas le premier, peu importe comment tu as aligné les autres, rien ne tombe. Vérifie systématiquement $P (n_{0})$ , même quand c'est trivial.

2. Mal placer le « pour tout n » dans la propriété

Erreur classique : écrire « Soit $P (n)$ la propriété : « pour tout $n$ , $u_{n} ⩾ 0$ » ». Non. La quantification « pour tout n » n'est pas dans la propriété $P (n)$ , elle est dans la conclusion globale. $P (n)$ est une affirmation sur un entier $n$ particulier. Tu écris : « Soit $P (n)$ la propriété : $u_{n} ⩾ 0$ . On démontre que $P (n)$ est vraie pour tout $n ⩾ n_{0}$ . » Le « pour tout n » se trouve dans la phrase qui suit, pas dans la propriété.

3. Oublier « soit n » au début de l'hérédité

Au début de l'hérédité, tu dois fixer un entier $n$ générique. Tu écris : « Soit $n \in N$ (ou $n ⩾ n_{0}$ ). On suppose $P (n)$ . » Sans ce « soit n » qui introduit la variable, ta phrase « on suppose $P (n)$ » est mal posée : on ne sait pas pour quel $n$ on fait l'hypothèse. Beaucoup d'élèves écrivent directement « On suppose $P (n)$ » sans avoir fixé $n$ au préalable, ce qui est une faute de rigueur que le correcteur sanctionne.

4. Confondre hypothèse de récurrence et conclusion à atteindre

L'hypothèse de récurrence est ce que tu supposes au rang $n$ . La conclusion de l'hérédité est ce que tu démontres au rang $n + 1$ . Ce ne sont pas la même chose. Quand tu rédiges, dis explicitement « par hypothèse de récurrence, on a $u_{n} = \dots$ » au moment où tu utilises l'hypothèse. Si tu ne marques jamais cette étape, le correcteur ne saura pas si tu l'as comprise.

5. Faire l'hérédité sans jamais utiliser l'hypothèse

Si ton calcul de $P (n + 1)$ tient debout tout seul, sans jamais s'appuyer sur $P (n)$ , alors ce n'est pas une récurrence : c'est une démonstration directe. Ce n'est pas faux mathématiquement, mais l'énoncé t'a demandé une récurrence, donc tu perds les points de méthode. Force-toi à identifier le moment où tu utilises l'hypothèse de récurrence.

6. Conclure sans la phrase rituelle

Sans la phrase finale « Par récurrence, pour tout $n$ , $P (n)$ est vraie », ta démonstration est techniquement incomplète. Cette phrase fait le lien entre l'initialisation, l'hérédité et le résultat à démontrer. Apprends-la par cœur, recopie-la systématiquement.

7. Initialiser au mauvais rang

Quand l'énoncé te demande de démontrer une propriété pour tout $n ⩾ 5$ (par exemple), n'initialise pas en $n = 0$ par habitude. Initialise au rang demandé ( $n = 5$ ici), sinon ta démonstration ne porte pas sur le bon domaine.

La rédaction type au Bac : la structure à recopier

Au Bac, la rédaction d'une récurrence rapporte autant que le résultat. Voici la structure exacte à recopier, avec les phrases magiques à connaître par cœur :

Squelette à recopier

1
Propriété. « Soit $P (n)$ la propriété : énonce la propriété. On démontre par récurrence que $P (n)$ est vraie pour tout $n ⩾ n_{0}$ . »
2
Initialisation. « Au rang $n = n_{0}$ : calcul direct. Donc $P (n_{0})$ est vraie. »
3
Hérédité. « Soit $n ⩾ n_{0}$ . On suppose $P (n)$ : réécris la propriété au rang $n$ . Montrons $P (n + 1)$ : réécris la propriété au rang $n + 1$ . »
Calcul détaillé, en disant explicitement « par hypothèse de récurrence » au moment où tu utilises l'hypothèse.
« Donc $P (n + 1)$ est vraie. »
4
Conclusion. « Par récurrence, pour tout $n ⩾ n_{0}$ , $P (n)$ est vraie. »

MéthodeDeux détails qui montrent ta rigueur

(1) Réécris

P (n + 1)

avant de la démontrer. Ça prend deux lignes mais ça vaut un demi-point : le correcteur voit que tu sais où tu vas. (2) Sache que « on suppose

P (n)

» et « on suppose

P (n)

vraie » signifient exactement la même chose. Le deuxième est presque un pléonasme (une propriété qu'on suppose est forcément supposée vraie). Les deux formulations sont acceptées, pas la peine de te casser la tête entre les deux.

Récurrence : les questions qu'on me pose souvent

Quand faut-il faire une récurrence plutôt qu'un raisonnement direct ?

Si la propriété à démontrer est valable pour tout entier $n$ et que la suite est définie par une relation de récurrence (donc $u_{n + 1}$ s'écrit en fonction de $u_{n}$ ), la récurrence est presque toujours la bonne piste. Si la suite a une formule explicite (du type $u_{n} = 2 n + 3$ ), tu peux souvent démontrer directement sans passer par la récurrence : tu fais le calcul algébrique et c'est plié.

Comment savoir si mon hérédité est juste ?

Trois tests à faire systématiquement : (1) ai-je bien utilisé l'hypothèse de récurrence à un moment (cherche le « par hypothèse de récurrence » dans ton brouillon) ? (2) suis-je bien arrivé à la propriété $P (n + 1)$ écrite exactement comme prévu ? (3) mes égalités/inégalités sont-elles toutes justifiées ligne par ligne ? Si tu réponds oui aux trois, ton hérédité tient.

Faut-il toujours initialiser à $n = 0$ ?

Non. Tu initialises au premier rang où la propriété doit être vraie, qu'on appelle $n_{0}$ . Si l'énoncé dit « pour tout $n ⩾ 3$ », tu initialises en $n = 3$ . Si la suite n'est définie qu'à partir de $n = 1$ , tu initialises en $n = 1$ . Tu lis l'énoncé attentivement avant de te lancer.

Le correcteur peut-il refuser ma rédaction si je n'écris pas exactement les bonnes phrases ?

Pas exactement, mais il peut te déduire des points sur la rigueur. Les phrases rituelles (« par récurrence, pour tout $n$ … », « par hypothèse de récurrence », « initialisation/hérédité/conclusion ») servent à montrer que tu maîtrises la structure du raisonnement. Si tu les omets, le correcteur ne peut pas vérifier que tu as bien fait chaque étape, donc il pénalise. C'est un investissement minime de mémorisation pour un gain certain.

En résumé : la récurrence en 5 réflexes

Repérer le signal : propriété à démontrer pour tout $n$ , suite définie par récurrence.
Poser $P (n)$ proprement : « Soit $P (n)$ la propriété : … » (sans « pour tout n » dans la propriété elle-même).
Initialiser au bon rang (lire l'énoncé).
Faire l'hérédité en commençant par « Soit $n$ … » et en utilisant explicitement l'hypothèse de récurrence.
Conclure par la phrase rituelle.

Avec ces 5 réflexes, n'importe quelle récurrence du Bac devient une question à 100% de réussite. La rédaction se fait quasi mécaniquement, et tu peux concentrer ton énergie sur le calcul de l'hérédité (où se trouve la vraie difficulté).

Pour aller plus loin

Tu veux t'entraîner sur des exercices de récurrence corrigés pas à pas avec indices progressifs ? La fiche Suites et les exercices du module Bac te donnent tout ce qu'il faut.

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